Operasi Pada Bilangan Bulat

oleh : Tatang JM.

A. Operasi Perkalian

Operasi perkalian pada suatu bilangan bulat pada hakikatnya adalah operasi penjumlahan yang dilakukan secara berulang. Oleh karena itu, operasi perkalian pada bilangan bulat secara umum membutuhkan landasan pengertian operasi penjumlahan.

Kita ketahui, lambang untuk menyatakan operasi perkalian antara dua bilangan atau lebih adalah dengan tanda silang (x). Dan juga telah mengetahui bahwa bilangan bulat secara garis besarnya dapat dikelompokkan ke dalam bilangan bulat positif, nol dan bilangan bulat negatif. Dengan tanpa memasukkan nol ke dalam kelompok bilangan karena nol bukan bilangan negatif dan bukan bilangan positif, kita akan mendapatkan dua gugus (himpunan) bilangan bulat yaitu bilangan bulat positif (p) dan bilangan bulat negatif (n). Berdasarkan kedua garis bilangan tersebut, maka pasangan perkalian dua bilangan bulat tadi kemungkinannya adalah berbentuk :

( 1 ) p x p

( 2 ) p x n

( 3 ) n x p

( 4 ) n x n

Penjelasan operasi perkalian pasangan dua bilangan bulat :

1. Guru mengambil misal/contoh 6 x 4. Selanjutnya kepada murid diperkenalkan suatu batasan mengenai operasi perkalian sebagai bentuk penjumlahan berulang. Di sini tentu jawaban murid yang diharapkan adalah 6 + 6 + 6 + 6. Sebab 6 x 4 pada hakikatnya adalah menjumlahkan bilangan 6 sebanyak 4 kali.

Selain itu, prosedur perkalian dapat pula dibantu dengan memperagakan perkalian dua bilangan tadi pada suatu garis bilangan. Terhadalp perkalian 4 x 6, hal itu dapat diartikan sebagai contoh seorang pengendara sepeda yang setiap jam dapat menempuh jarak 6 km. Tanyakanlah kepada murid berapakah jarak yang dapat ditempuh setelah ia mengendarai sepede selama 4 jam. Ini artinya bila digambarkan dalam garis bilangan perkalian tersebut adalah :

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

-6 0 6 12 18

2. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, (p x n). Contohnya adalah 4 x (-2). Ini artinya dengan penjumlahan berulang untuk bentuk tersebut dapat dinyatakan dengan ( -2 ) + ( -2 ) + ( -2 ) + ( -2 ).

Untuk memberikan peragaan p x n melalui garis bilangan, maka contoh yang dapat diambil adalah dengan mengubah arah pengendara sepeda. Dalam hal ini misalnya pengendara sepeda dengan kecepatan 2 km setiap jam melaju dengan arah yang berlawanan, ini berarti perjalanan berlawanan dengan arah yang berlaku (ke kiri). Penjelasan tentang hal ini dapat diperagakan pada garis bilangan sebagai berikut :

-8

· · · · · · · · · · · · ·

-6 -4 -2 0 2 4

3. Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif (n x p). Contohnya -3 x 4. Hal ini berarti dalam aplikasinya berupa : “Ada seorang pengendara sepeda yang dengan kecepatan mengendarai sepedanya setiap jam dapat menempuh jarak 4 km setiap jam. Maka kedudukan pengendara sepeda tersebut 3 jam sebelumnya dari keadaan sekarang berada pada jarak …….. “.

Penjelasan dengan garis bilangannya adalag sebagai berikut :

-3 -2 -1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

-12 -8 -4 0 4 8

Selain prosedur di atas, terdapat cara lain untuk menunjukkan hasil kali bilangan negatif dengan bilangan positif adalah bilangan bulat negatif, yaitu dengan menyusun setiap hasil kali dari sederetan suatu bilangan dengan bilangan lain dalam suatu daftar berurut. Contoh (-3) x 4, maka mula pertama perkalian harus ditunjukkan dengan perkalian bilangan bulat positif (namun untuk ini ambil bilangan 4) dikalikan dengan 4. Kemudian bilangan positif tadi secara berurut berkurang satu demi satu hingga sampai di harga -3. Hasil perkalian kedua bilangan akan ditunjukkan dengan menurunnya hasil pada langkah di atas sebanyak 4. Ilustrasi ini dapat diperlihatkan sebagai berikut :

4 x 4 = 16

Berkurang 1 Berkurang 4

3 x 4 = 12

Berkurang 1 Berkurang 4

2 x 4 = 8

Berkurang 1 Berkurang 4

1 x 4 = 4

Berkurang 1 Berkurang 4

0 x 4 = 0

Berkurang 1 tentu untuk ini hasilpun

-1 x 4 = -4

-2 x 4 = -8 akan berkurang 4 juga

-3 x 4 = -12

4. Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif. Misalkan (-3) x (-4). Untuk ini prosedur pertama yang perlu dilakukan adalah melakukan langkah perkalian 3 x 4, kemudian diikuti dengan penurunan pada bilangan yang dikalikan. Selanjutnya setelah langkah sampai pada perkalian -3 x 4 kini tiba giliran bilangan pengali setahap demi setahap turun sampai pada bentuk ( -3 ) x ( -4 ).

Prosedur dan langkah tahapan dimaksud dapat dijelaskan sebagai berikut :

Langkah I

Dari 3 x 4 menuju ke bentuk -3 x 4

3 x 4 = 12

2 x 4 = 8

1 x 4 = 4

0 x 4 = 0

-1 x 4 = -4

-2 x 4 = -8

-3 x 4 = -12

Ternyata akan kita temukan bahwa -3 x 4 adalah sama dengan -12, dan ini merupakan bilangan bulat negatif.

Langkah II

Dari (-3) x 4 menuju ke bentuk (-3 x (-4) dalam hal ini bilangan yang turun adalah 4 sehingga prosedurnya menjadi :

(-3) x 4 = -12

(-3) x 3 = -9

(-3) x 2 = -6

(-3) x 1 = -3

(-3) x 1 = -3

(-3) x 0 = 0

Tanyakan kepada murid, di sini apa yang terjadi dengan hasil perkalian? Naik atau menurunkah hasilnya? Perhatikan prosedur selanjutnya :

(-3) x (-1) = +3

(-3) x (-2) = +6

(-3) x (-3) = +9

(-3) x (-4) = +12 dan seterusnya.

Dengan mengisi hasil perkalian di atas ternyata antara hasil perkalian di bawah dengan hasil perkalian di atasnya telah terjadi penambahan hasil yaitu sebesar +3. Ini tentu membawa konsekuensi yang logis bahw (-3) x (-1) tentu harus +3. Begitu pula dengan (-3) x (-2), (-3) x (-3), … dan seterusnya. Dan hasil perkalian tersebut akan menunjukkan bilangan bulat yang positif.

B. Sifat-sifat Perkalian Bilangan Bulat

Kita perlu mempelajari sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian agar langkah operasi perkalian yang kita jumpai menjadi lebih sederhana dan lebih mudah dimengerti. Sebagai contoh, ( 5 x 3 ) + ( 2 x 5 ) maka ia dapat menyederhanakan operasinya ke dalam bentuk 5 x (3 + 2) atau menjadi 5 x 5.

Beberapa sifat yang berlaku dalam operasi perkalian bilangan bulat ini adalah sebagai berikut :

(1) Sifat tertutup, maksudnya hasil dari operasi bilangan pasti akan berbentuk bilangan bulat kembali.

(2) Sifat pertukaran. Caranya adalah tanyakan hasil dari 6 x 2, begitu pula hasil dari perkalian 2 x 6. Dengan menyebutkan bahwa 2 x 6 adalah seharga dengan 6 x 2 maka guru hendaknya memberitahukan sifat yang demikian adalah merupakan sifat pertukaran dari perkalian bilangan bulat.

(3) Sifat Pengelompokkan. Contoh, apakah 2 x ((-3) x 5 seharga dengan (2 x (-3)) x 5. Terhadap soal ini maka operasi menjadi :

?

2 x ((-3) x 5 = (2 x (-3)) x 5

?

2 x (-15) = (-6) x 5

Ternyata hasilnya -30 = -30, yang berarti 2 x ((-3) x 5) adalah sama dengan (2 x (-3)) x 5.

Jadi jika ditulis dalam bentuk umum adalah : (a x b) x c = a x (b x c)

(4) Sifat Penyebaran (Distribusi). Contoh 3 x {(-5) + 6} apakah {3 x (-5) } + (3 x 6).

Pada bentuk 3 x {(-5) + 6} hasil operasinya adlah 3 x (1) = 3. Sementara untuk bentuk {3 x (-5)} + (3 x 6) akan didapat (-15) + 18 = 3.

Ternyata dari kedua bentuk operasi di atas menunjukkan hasil yang sama, ini berarti bahwa :

3 x {(-5) + 6 } adalah seharga dengan {3 x (-5)} + (3 x 6)

Atau ditulis dengan 3 x {(-5) + 6} = {3 x (-5)}+ (3 x 6).

Bentuk tersebut dapat dapat ditulis secara umum ke dalam bentuk :

P x (q + r) = (p x q) + (p x r)

(5) Sifat Bilangan Satu

Contoh : 6 x 1

- 4 x 1

3 x 1

2 x 1

-5 x 1 … dan seterusnya.

Maka akan ditemukannya hasil perkalian yang berupa bilangan itu sendiri. Itu dinamakan sebagai Unsur Identitas dalam operasi perkalian bilangan bulat.

(6) Sifat Bilangan Nol

Untuk sembarang bilangan bulat dapat disimpulkan bahwa :

a x 0 = 0

C. Operasi Pembagian

Operasi pembagian pada hakikatnya adalah suatu proses pencarian tentang faktor (bilangan) yang belum diketahui. Oleh karena itu pembagian dapat dipandang sebagai suatu bentuk operasi perkalian dengan salah satu faktornya yang belum diktahui. Sebagai contoh, kalau dalam perkalian 4 x 5 = n tentu n = 20, maka dalam pembagian hal tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk 20 : 4 = n atau 20 : 5 = n.

Di samping cara seperti di atas, terdapat pula cara lain, yaitu dengan menggunakan garis bilangan. Langkah yang dilakukan adalah mencari berapa banyak langkah sesuai dengan pembagian dari bilangan yang dibagi agar sampai di titik 0. Sebagai contoh 15 : 3 maka penggambaran dalam garis bilangan itu sebagai berikut :

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

-6 3 0 3 6 9 12 15

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s